Para empezar, comenzaremos con un ejercicio sencillo:
1. f(x)=x^2 + 4x − 5
1. Lo primero que hay que hacer es tener en cuenta la siguiente ecuación:
f'(x)= lim f(x+h)-f(x)
h-0 h
2. Seguido de esto hay que reemplazar la ecuación: la x se reemplaza por (x+h) y -f(x) se reemplaza por toda la función. Así
f'(x)= lim (x+h)^2 -x^2 + 4(x+h) - 4x
h-0 h h
El 5 no se coloca por que la derivada de cualquier número es siempre igual a 0.
3. Ahora, se operan la funciones; las funciones que están elevadas a cualquier número necesitan ser operadas por medio del triangulo de pascal; en este caso como (x+h) esta elevada a la 2 quedaría:
(x^2+2xh+h^2) porque:
1er término al cuadrado + 2 veces el 1er término por el 2do + el último término al cuadrado.
f'(x)= lim x^2+2xh+h^2-x^2 + 4x+4h - 4x
h-0 h h
4. Eliminamos términos semejantes.
f'(x)= lim 2xh+h^2 + 4h
h-0 h h
5. Una vez tengamos los términos finales es hora de hallar el factor común, el cual es la h (siempre es la h) para poder así cancelarla con la h del denominador.
f'(x)= lim h(2x+h^2) + h(4)
h-0 h h
5. Una vez se hayan eliminado las aches, ahora si podemos despejar el limite.
f'(x)=2x+0^2 + 4
6. Finalmente la función ha sido derivada, así que ya no es necesario colocar el limite (durante toda la derivación es necesario colocar el limite)
f'(x)= 2x+ 4
