a) 3x3 y2 + 9x2 y2 – 18xy2
Solución: Se observa que hay factores comunes entre los términos del polinomio dado, por lo que se eligen los factores comunes con su menor exponente (M.C.D.) tanto entre los coeficientes numéricos (3, 32, 2.32) como entre las variables, obteniéndose: 3xy2
El otro factor resulta de dividir cada término del polinomio entre el factor común:
, ,
Por tanto, el polinomio factorizado será:
3x3 y2 + 9x2 y2 – 18xy2 = 3xy2 (x2 + 3x – 6)
La factorización se puede comprobar efectuando el producto indicado en el lado derecho de igualdad, el cual debe dar el polinomio que se factorizó.
b) a (m – 1) + b (m – 1) – c (m – 1)
Solución: El factor común también puede ser un polinomio, en este caso, m – 1 y la factorización se realiza en forma análoga a cuando el factor común es un monomio (véase el ejercicio anterior).
Por lo tanto, a (m – 1) + b (m – 1) – c (m – 1) = (m – 1) (a + b – c)
c) 2av2 + 3u3 + 2auv – 3uv2 – 2au2 – 3u2 v
Solución: A simple vista se observa que no hay factor común, pero hay términos que “se parecen” como 2av2 y 3uv2. Además, hay un número par de términos, por lo que, se puede pensar en el caso de factor común por agrupación, que consiste en hacer grupos con igual cantidad de términos, se factoriza cada grupo con el propósito de conseguir un nuevo factor común, y luego, se completa la factorización. Si al factorizar los grupos no se consigue un nuevo factor común, entonces, se agrupan de otra forma hasta lograrlo.
Efectuemos una agrupación conveniente de términos, por ejemplo, el 1º con el 4º, el 5º con el 2º y el 3º con el 6º. Entonces,
2av2 + 3u3 + 2auv – 3uv2 – 2au2 – 3u2 v
= (2av2 – 3uv2) – (2au2 – 3u3) + (2auv – 3u2 v) (se factoriza cada grupo)
= v2 (2a – 3u) – u2 (2a – 3u) + u v(2a – 3u) (aparece un nuevo factor común)
= (2a – 3u) (v2 – u2 + u v) (se completa la factorización). Entonces,
2av2 + 3u3 + 2auv – 3uv2 – 2au2 – 3u2 v = (2a – 3u) (v2 – u2 + u v)
También se pueden agrupar los términos de 3 en 3, por ejemplo, los 3 términos que tienen coeficiente numérico 2 y los 3 que tienen coeficiente numérico 3. ¡Inténtalo!
d) 9x2 – 36xy + 36y2
Solución: Como es un trinomio, la pregunta inmediata es: ¿Será un trinomio cuadrado perfecto? Se reconoce porque dos de sus términos son positivos y cuadrados perfectos (tienen raíz cuadrada exacta): y ; y el tercer término (positivo o negativo) es igual al doble producto de las raíces cuadradas de los dos primeros: 36xy = 2(3x) (6y).
Entonces, el trinomio cuadrado perfecto se factoriza separando las raíces cuadradas por el signo del 2º término, se encierran entre paréntesis y se eleva al cuadrado. O sea,
9x2 – 36xy + 36y2 = (3x – 6y)2
↓ ↓
3x 6y
2(3x)(6y)
e) 9x2 – 4y4
Solución: Obsérvese que son dos cuadrados perfectos que se están restando, por lo que, se trata de una diferencia de cuadrados. Para factorizarlo, se saca la raíz cuadrada de cada uno de los términos; estas raíces cuadradas se suman y se multiplican por la diferencia de las mismas.
Por lo tanto,
9x2 – 4y4 = (3x + 2y2) (3x – 2y2)
↓ ↓
3x 2y2
f) (a + b – 1)2 – (a – b + 1)2
Solución: Se trata de una diferencia de cuadrados. Entonces,
(a + b – 1)2 – (a – b + 1)2 = [(a + b – 1) + (a – b + 1)] [(a + b – 1) – (a – b + 1)]
= [a + b – 1 + a – b + 1] [a + b – 1 – a + b – 1]
= [2a] [2b – 2] = 2 a. 2 (b – 1) = 4 a (b – 1)
(a + b – 1)2 – (a – b + 1)2 = 4 a (b – 1)
