Exponente entero
Cuando el exponente es un número natural n, este indica las veces que aparece a multiplicando, siendo a un número cualquiera:
(1)
Esta definición puede aplicarse, tanto a números reales o complejos, así como a otras estructuras algebraicas más abstractas, como pueden ser, por ejemplo, matrices cuadradas.
Multiplicación de potencias de igual base
El producto de dos potencias que tienen la misma base es igual a una potencia de dicha base que tiene como exponente la suma de los exponentes, es decir:
[Mostrar]
Ejemplos:
[editar]Potencia de una potencia
La potencia de una potencia de base a es igual a la potencia de base a y cuyo exponente es el producto de ambos exponentes (la misma base y se multiplican los exponentes):
Debido a esto, la notación se reserva para significar ya que se puede escribir sencillamente como .
Potencia de un producto
La potencia de un producto es igual al producto de cada uno de los factores elevado al mismo exponente, es decir:
Si la base a tiene inverso aditivo, indicado mediante signo negativo -a, entonces se tiene la regla:
si n es par.
si n es impar.
Si la base a tiene inverso multiplicativo c, es decir c·a = 1 o que , entonces este se denota por y el exponente se puede ampliar a todos los números enteros:
(2)
Observación
División de potencias de igual base
El cociente de dos potencias que tienen la misma base es igual a una potencia de dicha base que tiene como exponente el resultado de restar el exponente del divisor al del dividendo, es decir:
Ejemplo:
Potencia de exponente 0
Un número distinto de 0 elevado al exponente 0 da como resultado la unidad (1), puesto que:1 2
El caso particular de , en principio, no está definido (ver cero).
Potencia de un cociente
La potencia de un cociente es igual al cociente de cada uno de los números elevado al mismo exponente.
Si la base a = 0, entonces a no tiene inverso multiplicativo , por lo que sólo se presentan exponentes de números naturales por (1) quedando así prohibida la notación (2) como valor numérico:
Exponente racional
Artículo principal: Radicación.
La potenciación con exponente racional viene de la necesidad de resolver una ecuación del tipo , de manera que , pero se ha de garantizar que dicha x sea un número real y esto sólo se puede garantizar para toda n si la base a es un número real positivo, por lo que existe un teorema que dice:
Dado un número real positivo a, este tiene una única raíz n-ésima positiva.
Para notar la raíz se define el uso de fracciones en el exponente:
(3)
Observación
En general para las fracciones se define que:
(4)
Relación
Propiedades
