Solo seré detallado con la primera, puesto que las otras se pueden hacer con fórmulas básicas de las progresiones, te las dejaré aqui, con estas podras hacer cualquier problema tipo progresion aritmetica:
[tex]a_{1}=a_{n}-r(n-1)[/tex] (Esto para hallar un término a partir del Nº 1)
[tex]a_{n}=a_{1}+r(n-1)[/tex] (Esto para hallar el primer término a partir de un término "n")
Como verás, la formula esta solo varía en el símbolo y en el lugar de los términos, no es nada demasiado complicado.
Tambien hay otra formula para hallar la razón a partir de 2 lugares de una progresión:
[tex]a_{n}-a_{m}=r(n-m)\ \ \ \ n>m[/tex]
Ahora con los ejercicios:
Progresión aritmetica: 2/3,7/6,5/3
Para este tipo de casos, lo que se debe hacer es ponerlo todo con un denominador comun que sea el más conveniente, en este caso, sería el 6
Transformandolo todo a denominador 6, la nueva progresión aritmetica sería:
1) 4/6, 7/6, 10/6
Y creo que se ve al ojo cual es la razón: 3/6 (o reducido: 1/2, pero trabajaré con la razón sin reducir)
La razon es: 3/6, y nos piden el término de lugar 26, pues bien, aplicamos nuestra formulita y reemplazamos:
[tex]a_{n}=a_{1}+r(n-1)[/tex]
(asumiré que 4/6 es el término de lugar Nº1)
[tex]a_{26}=2/3+3/6(26-1)[/tex]
[tex]a_{26}=2/3+3/6(25)[/tex]
[tex]a_{26}=2/3+75/6[/tex]
[tex]a_{26}=79/6[/tex]
79 es primo, asi que no puede dividirse (solo por el 1 y por el mismo)
Y la respuesta sería 79/6
Ahora por las siguientes, solo que esta vez las haré mas directo:
2) [tex]a_{12}=42[/tex], r=2
Usando esta fórmula:
[tex]a_{1}=a_{n}-r(n-1)[/tex]
[tex]a_{1}=42-2(12-1)[/tex]
[tex]a_{1}=42-2(11)[/tex]
[tex]a_{1}=42-22[/tex]
[tex]a_{1}=20[/tex]
El primer término para esta progresión es 20
3) [tex]a_{40}=59[/tex], [tex]a_{27}=3[/tex]
Aqui aplicamos la 3ra fórmula:
[tex]a_{n}-a_{m}=r(n-m)\ \ \ \ n>m[/tex]
Ahora reemplazamos:
[tex]a_{40}-a_{27}=r(40-27)[/tex]
[tex]59-3=r(40-27)[/tex]
[tex]56=13r[/tex]
[tex]\frac{56}{13}=r[/tex]
Ahora para hallar el término Nº1 usamos lo siguiente:
[tex]a_{1}=a_{n}-r(n-1)[/tex]
Usaré al término de lugar 27:
[tex]a_{1}=3-\frac{56}{13}(27-1)[/tex]
[tex]a_{1}=3-\frac{56}{13}(26)[/tex]
[tex]a_{1}=3-\frac{1456}{13}[/tex]
[tex]a_{1}=3-112[/tex]
[tex]a_{1}=-109[/tex]
El término de lugar Nº1 es -109
Ya te he dado las 3 fórmulas básicas de las progresiones, intenta resolver usándolas, te deseo mucha suerte ^^
