1)
Dibuja la figura o bien fíjate en esta imagen:
http://www.wikillerato.org/images/6/67/16Cuadrilateros.gif
donde aparece el trapecio rectángulo.
Como el enunciado nos dice que el lado no paralelo forma un ángulo de 45º con la base mayor, eso ya nos da la pista definitiva de que la figura parcial que se forma entre ese lado, la altura y la parte sobrante de la base mayor sobre la menor, es la mitad de un cuadrado que hemos partido por su diagonal.
Dicha diagonal será el lado no paralelo y la parte de la base mayor que excede sobre lo que mide la base menor, será uno de los lados de un cuadrado. Pero como hemos dicho que es LA MITAD DE ESE CUADRADO, de ahí ya se puede deducir que la parte sobrante citada y la altura miden lo mismo ya que son dos lados consecutivos de dicho cuadrado.
Por tanto ya sabemos lo que miden las dos bases:
Base menor = 12
Base mayor = 12 + 6 = 18
Por definición, la mediana de un rectángulo es la paralela a las bases que corta los puntos medios de los lados, de tal modo que su medida se averigua con la semisuma de las bases:
Mediana = (12+16) / 2 = 28 / 2 = 14 cm. mide la mediana.
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b)
Si el perímetro es LA SUMA DE TODOS SUS LADOS, sabiendo que los no paralelos miden 15 cada uno y el perímetro mide 70, si restamos la suma de esos dos lados del perímetro obtendremos lo que mide la suma de las bases y dividiendo dicho resultado por 2 tendremos la solución:
70 - (15+15) = 70 - 30 = 40 es la suma de las bases.
Mediana = 40 / 2 = 20 cm. mide la mediana.
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c)
Del mismo modo que antes, si restamos del perímetro la suma de los dos lados no paralelos obtendremos la suma de las bases y con ese dato podremos plantear una ecuación de primer grado:
60 - 30 = 30 cm. es la suma de las bases.
(obviamente, tratándose de un trapecio isósceles, los lados no paralelos son iguales y por tanto, si su suma es de 30, cada lado mide 15)
Dice que esas bases están en relación 5 a 6...
Base menor = x
Base mayor = 30-x (la suma de las bases menos lo que mide la menor, ok?)
Planteo la proporción:
x es a 5 como (30-x) es a 6 ... que pasado a ecuación es...
x/5 = (30-x)/6 ----> 6x = 5(30-x) -----> 6x = 150 -5x -------->
x = 150/11 = 13,63 cm. mide la base menor.
Por tanto la mayor medirá: 30 - 13,63 = 16,37 cm.
La mediana será la semisuma de sus bases: 30 / 2 = 15 cm.
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d)
El número mayor se llamará: x
El número menor se llamará: y
Están en relación 5 a 6, planteo la proporción / ecuación:
y/5 = x/6 ---> 5x = 6y ----> 5x -6y = 0
Ahora, según la 2ª parte del enunciado se puede plantear esto:
(y+2)/9 = (x-6)/8 ---> 8y +16 = 9x -54 -----> 9x -8y -70 = 0 ... y tengo el sistema:
5x -6y = 0 .........por 4
9x -8y -70 = 0 ...por (-3)
Ahora resuelvo por reducción multiplicando la 1ª por 4 y la 2ª por (-3) para eliminar las "y" sumando miembro a miembro...
20x -24y = 0
-27x+24y +210 = 0
—————————
-7x .....+210 = 0 ---------> x = 210 / 7 = 30 es el nº mayor.
El menor saldrá de sustituir ese valor en cualquier ecuación, por ejemplo:
5·(30) = 6y ---> 150 = 6y ----> y = 150 / 6 = 25 es el nº menor.
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e)
La suma es 17, por tanto puedo llamar así a los números: "x" y "17-x" ¿ok?
Ahora se plantea:
x² - (17-x)² = 51 ---> x² - (289 +x² -34x) = 51 -----> x² -289 -x² +34x = 51 ---->
34x = 51 +289 ---> x = 340 / 34 = 10 es un número.
El otro será, obviamente lo que falta hasta 17 que es su suma:
17 - 10 = 7 es el otro número.
Saludos.
PD: Te resolví tantos deberes porque otro usuario a quien tengo en gran estima me lo pidió por favor pero debes saber que no está permitido colocar tantos deberes en una sola tarea. Hay que repartirlos. Es susceptible de notificar de abuso y de borrar esta tarea. Para tu conocimiento y posteriores actuaciones en consecuencia.
