En cálculo proposicional es común tomar como axiomas lógicos todas las fórmulas siguientes:
,
donde , , y pueden ser cualquier fórmula en el lenguaje.
Cada uno de estos patrones es un esquema de axiomas, una regla para generar un número infinito de axiomas. Por ejemplo si p, q, y r son variables proposicionales, entonces y son instancias del esquema 1 y por lo tanto son axiomas.
Puede probarse que, con solamente estos tres esquemas de axiomas y la regla de inferencia modus ponens, todas las tautologías del cálculo proposicional son demostrables. También se puede probar que ningún par de estos esquemas es suficiente para demostrar todas las tautologías utilizando modus ponens. Este conjunto de esquemas axiomáticos también se utiliza en el cálculo de predicados, pero son necesarios más axiomas lógicos.
Ejemplo. Sea un lenguaje de primer orden. Para cada variable la fórmula es universalmente válida.
Esto significa que, para cualquier símbolo variable , la fórmula puede considerarse axioma. Para no incurrir en vaguedad o en una serie infinita de «nociones primitivas», primeramente se necesita una idea de lo que se desea expresar mediante , o definir un uso puramente formal y sintáctico del símbolo . De hecho sucede esto en Lógica matemática.
Otro ejemplo interesante es el de «instanciación universal». Para una fórmula en un lenguaje de primer orden , una variable y un término sustituible por en , la fórmula es válida universalmente.
En términos informales este ejemplo permite afirmar que si se sabe que cierta propiedad se cumple para toda y que si es un objeto particular en la estructura, se estaría en capacidad de afirmar .
De nuevo se afirma que la fórmula es válida. Esto es, se debe ser capaz de aportar una prueba de este hecho, o -mejor expresado- una metaprueba. En efecto, estos ejemplos son metateoremas de la teoría de lógica matemática, ya que la referencia es meramente al concepto demostrativo en sí. Además se puede extender a una generalización existencial.
Esquema axiomático. Para una fórmula en un lenguaje de primer orden , una variable y un término sustituible por en , la es universalmente válida.
http://espanol.answers.yahoo.com/question/index?qid=20090316171347AAGzha3
Saludos, M4Ri0 :)
