Propiedades de la conjugacíon.
El conjugado del conjugado de un número complejo es el propio número complejo: (z´)´ = z. En efecto, sea z =
a +
b·i ==> z´ =
a -
b·i ==> (z´)´ =
a - (-
b·i) =
a +
b·i = z
El conjugado de la suma es la suma de los conjugados: (z1 + z2)´ = z1´ + z2´. En efecto, sean z1 =
a +
b·i y z2 =
c +
d·i; es z1´ =
a -
b·i y z2´ =
c -
d·i, por tanto z1´ + z2´ =
a -
b·i +
c -
d·i = (
a+
c) - (
b+
d)·i = (z1 + z2)´.
El conjugado del opuesto es el opuesto del conjugado: (- z)´ = - z´.En efecto, sea z =
a +
b·i ==> - z = -
a -
b·i ==> (- z)´ = -
a +
b·i = - (
a -
b·i) = - z´.
El conjugado del producto es el producto de los conjugados: (z1 · z2)´ = z1´ · z2´.
En efecto, sean z1 =
a +
b·i y z2 =
c +
d·i. Es z1 · z2 = (
ac -
bd) + (
ad +
bc)·i, de donde (z1 · z2)´ = (
ac -
bd) - (
ad +
bc)·i.
Por otra parte, z1´ · z2´ = (
a -
b·i) · (
c -
d·i) = [
ac - (-
b)(-
d)] + [
a(-
d) +
c(-
b)]·i = (
ac -
bd) + (-
ad -
bc)·i = (
ac -
bd) - (
ad +
bc)·i = (z1 · z2)´.
El conjugado del inverso es el inverso del conjugado: 1/z´ = (1/z)´.En efecto, sea z =
a +
b·i ==> z´ =
a -
b·i ==> 1/z´ = [
a - (-
b)·i]/(
a2 +
b2) = (
a +
b·i)/(
a2 +
b2). Por otra parte, 1/z = (
a -
b·i)/(
a2 +
b2) ==> (1/z)´ = (
a +
b·i)/(
a2 +
b2) = 1/z´.
El conjugado del cociente es el cociente de los conjugados: (z1/z2)´ = z1´/z2´.
z es un número real <==> z = z´.
z es imaginario puro <==> z = -z´.
