a. ¿Con que cifras terminan las potencias de 7 ? ¿De que forma aparecen?
Saquemoslo por induccion:
7^0 = 1
7^1 =7
7^2 =49
7^3 =343
7^4=2401
7^5=.......7 (va a terminan en 7)
7^6=......9 (va a terminar en 9)
7^7=.......3 (va a terminar en 3)
7^8 = ......1 (va a termina en 1)
7^9 = .......7 (va a terminar en 7)
y asi continuara
De aqui vemos, que las potencias de 7, terminaran solamente en: {1;3;7; y 9}
Ahora, entonces, !oh, sorpresa!, los numeros con los que terminan las potencias siguen un patron, y cual es ese?
Se van a presentar de la siguiente forma: 7 ; 9; 3;1, 7, 9 , 3 ,1 , 7 , 9 ....
Es decir , el 7;9;3,1 ... se van a repetir, continuamente.
b ¿Con que cifra termina 7 (elevado al 70)?
Para ello, analizamos nuestra tablita anterior, con la diferencia que no consideraremos el 7 elevado a la cero, ya que este no pertenece al patron que se esta produciendo en las potencias de 7 , solo es coincidencia de que termine en 1.
7^1 =7
7^2 =49
7^3 =343
7^4=2401
7^5=.......7 (va a terminan en 7)
7^6=......9 (va a terminar en 9)
7^7=.......3 (va a terminar en 3)
7^8 = ......1 (va a termina en 1)
7^9 = .......7 (va a terminar en 7)
Vemos que cada 4 potencias, las ultimas cifras empiezan a repetirse, entonces,
¿En que cifra terminara 7^70?
Facil, el exponente tenemos que dividirlo entre 4, y luego, el residuo,lo tomamos como posicion de: 7,9,3,1 y este indicara la cifra en la cual termina aquella potencia.
Nota: Si la division es exacta entonces terminara en la ultima cifra del patron que sigue, en este caso, me refiero a 1.
Entonces, hagamoslo.
PAso 1: Dividir 70 entre 4
70 entre 4 te da de Cociente 17 y residuo 2
Paso 2: Trabajamos con el residuo:
El residuo indicara la posicion de la ultima cifra que se encuentra en el patron 7;9;3;1
Entonces, como el residuo es 2 , hacemos lo siguiente:
7 ; 9 ; 3 ; 1
↓ ↓ ↓ ↓
termino 1 termino2 termino3 termino 4
Pero el residuo es 2, entonces cogemos el termino que se encuentra en la posicion 2, que será en este caso el numero 7, y ademas tambien será la ultima cifra de la potencia buscada.
Respuesta: 7^70 Terminara en 9
*******************************Comprobacion*************************************
Si hacemos un ejercicio simple, como por ejemplo.
¿En que cifra terminara 7 elevado a la 6?
Si usamos una calculadora, obtenemos que:
7^6 = 117649 ....y por tanto, terminara en 9
Ahora, comprobemoslo, con lo dicho anteriormente.
*Paso1: dividimos el exponente entre 4
6 entre 4 : nos da: Cociente =1 ; residuo =2
Entonces, ubicamos el termino 2 , el patron que sigue las potencias de 7:
7 ; 9 ; 3 ; 1
↓ ↓ ↓ ↓
termino 1 termino2 termino3 termino 4
Y comprobamos que efectivamente termina en 9. y por lo tanto nuestro ejercicio de 7 elevado a la 70, tambien estara correcto, dado que nos basamos en lo mismo.
