Bueno, esta es mi solucion, solo que como no me respondiste el mensaje que te envie, mejor pondre la solucion aqui, porque ya me voy... , pero OJO:
LA SOLUCION ES CORRECTA SI Y SOLO SI LA BASE DE DICHA CAJA ES CUADRADA
Si la base es cuadrada:
El lado de la basae de la caja, sera: x
La altura de la caja será: y
Entonces:
Con el volumen:
V = x²y = 64
⇒y = 64/x²
Con el area :
A t = 4xy + x²
At = 4 x (64/x²) + x²
At = 256x^{-1} + x²
Derivando por primera vez, con respecto a x , e igualamos a cero:
A' = - 256x^{-2} + 2x = 0
(2x³ - 256)/x² =0
2x³ = 256
⇒x = 8∛2
Derivando por segunda vez y reemplazando x = 8∛2
⇒ A'' = 512x-³ + 2
A'' (x = 8∛2) = 512(8∛2)^{-3} + 2 = 5/2 >0 , por lo tanto: ∃ un minimo para x = 8∛2
Por lo tanto:
At = 256x^{-1} + x²
At = 256(8∛2)^{-1} + (8∛2)²
At = 80∛4 pies ² ← Rpta
