1.
[tex]\\\log_5(x+1)-\log_5(x-1)=2\\ x+1>0\wedge x-1>0\\ x>-1 \wedge x>1\\ x>1\\ \log_5\frac{x+1}{x-1}=2\\ 5^2=\frac{x+1}{x-1}\\ 25=\frac{x+1}{x-1}\\ 25(x-1)=x+1\\ 25x-25=x+1\\ 24x=26\\ x=\frac{26}{24}\\ x=\frac{13}{12}\\[/tex]
2.
[tex]\\\log x+\log(x-3)=1\\ x>0 \wedge x-3>0\\ x>0 \wedge x>3\\ x>3\\ \log x(x-3)=1\\ 10^1=x(x-3)\\ 10=x^2-3x\\ x^2-3x-10=0\\ x^2-5x+2x-10=0\\ x(x-5)+2(x-5)=0\\ (x+2)(x-5)=0\\ x=-2 \vee x=5\\ -2\not>3\\ \underline{x=5}[/tex]
3.
[tex]\\\ln(x-1)+\ln(x+2)=1\\ x-1>0 \wedge x+2>0\\ x>1 \wedge x>-2\\ x>1\\ \ln(x-1)(x+2)=1\\ e^1=(x-1)(x+2)\\ e=x^2+2x-x-2\\ x^2+x-2-e=0\\ \Delta=1^2-4\cdot1\cdot(-2-e)\\ \Delta=1+8+4e\\ \Delta=9+4e\\ \sqrt{\Delta}=\sqrt{9+4e}\\\\ x_1=\frac{-1-\sqrt{9+4e}}{2}\\ x_1=-\frac{1+\sqrt{9+4e}}{2}\\\\ x_2=\frac{-1+\sqrt{9+4e}}{2}\\ x_2=-\frac{1-\sqrt{9+4e}}{2}\\\\ -\frac{1+\sqrt{9+4e}}{2}\not>1\\\\ \underline{x=-\frac{1-\sqrt{9+4e}}{2}} [/tex]
4.
[tex]\\\log(x^2-x-2)=2\\ x^2-x-2>0\\ x^2+x-2x-2>0\\ x(x+1)-2(x+1)>0\\ (x-2)(x+1)>0\\ x\in(-\infty,-1)\cup(2,\infty)\\ 10^2=x^2-x-2\\ 100=x^2-x-2\\ x^2-x-102=0\\ \Delta=(-1)^2-4\cdot1\cdot(-102)\\ \Delta=1+408\\ \Delta=409\\ \sqrt{\Delta}=\sqrt{409}\\\\ x_1=\frac{-(-1)-\sqrt{409}}{2}\\ x_1=\frac{1-\sqrt{409}}{2}\\\\ x_2=\frac{-(-1)+\sqrt{409}}{2}\\ x_2=\frac{1+\sqrt{409}}{2}\\\\ [/tex]
