Límite matemático
En matemática, el límite es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor. En cálculo (especialmente en análisis real y matemático) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración, entre otros.
El concepto se puede generalizar a otros espacios topológicos, como pueden ser las redes topológicas; de la misma manera, es definido y utilizado en otras ramas de la matemática, como puede ser la teoría de categorías.
Para fórmulas, el límite se utiliza usualmente de forma abreviada mediante lim como en lim(an) = a o se representa mediante la flecha (→) como en an → a.
Límite de una sucesión
La sucesión para converge al valor 0, como se puede ver en la ilustración.
Artículo principal: Límite de una sucesión.
La definición de límite matemático para el caso de una sucesión nos indica intuitivamente que los términos de la sucesión se aproximan arbitrariamente a un único número o punto , si existe, para valores grandes de . Esta definición es muy parecida a la definición del límite de una función cuando tiende a .
Formalmente, se dice que la sucesión tiende hasta su límite , o que convergeo es convergente (a ), y se denota como:
si y sólo si para todo valor real ε>0 se puede encontrar un número natural tal que todos los términos de la sucesión, a partir de un cierto valor natural mayor que converjan a cuando crezca sin cota.
Escrito en un lenguaje formal, y de manera compacta:
Este límite, si existe, se puede demostrar que es único. Si los términos de la sucesión no convergen a ningún punto específico, entonces se dice que la sucesión esdivergente.
Límite de una función
Visualización de los parámetros utilizados en la definición de límite.
Artículo principal: Límite de una función.
En análisis real para funciones de una variable, se puede hacer una definición de límite similar a la de límite de una sucesión, en la cual, los valores que toma la función dentro de un intervalo se van aproximando a un punto fijado c, independientemente de que éste pertenezca al dominio de la función. Esto se puede generalizar aún más afunciones de varias variables o funciones en distintos espacios métricos.
Informalmente, se dice que el límite de la función f(x) es L cuando x tiende a c, y se escribe:
si se puede encontrar para cada ocasión un x suficientemente cerca de c tal que el valor de f(x) sea tan próximo a L como se desee.
Para un mayor rigor matemático se utiliza la definición épsilon-delta de límite, que es más estricta y convierte al límite en una gran herramienta del análisis real. Su definición es la siguiente:
"El límite de
f(x) cuando
x tiende a
c es igual a
L si y sólo si para todo número real
ε mayor que cero existe un número real
δ mayor que cero tal que si la distancia entre
x y
c es menor que
δ, entonces la distancia entre la imagen de
x y
L es menor que
εunidades".
Esta definición, se puede escribir utilizando términos lógico-matemáticos y de manera compacta:
[editar]Límite de una sucesión de conjuntos
Artículo principal: Límite (sucesión de conjuntos).
En teoría de conjuntos también se utiliza el concepto de límite, que se puede calcular sobre una sucesión de conjuntos. Para ello, los conjuntos deben de cumplir una serie de condiciones, como puede ser la monotonía (creciente o decreciente). De manera más general, y utilizando la definición de límite superior y límite inferior para una sucesión de conjuntos cualquiera , se dice que el límite de esta sucesión existe si el límite superior y límite inferior existen y son iguales,
Estos conceptos son muy útiles en disciplinas de las matemáticas como la teoría de la medida, especialmente en espacios de probabilidad.
[editar]Límite en espacios topológicos
[editar]Redes
Véase también: Red (matemáticas)
Todas las nociones anteriores de límite pueden ser unificadas y generalizadas a espacios topológicos arbitrarios mediante la introducción de redes topológicas y la definición de sus límites.
Sea un espacio topológico y una red en . Se dice que es un punto límite de la red si la red está eventualmente en cada entorno de , es decir, si cualquiera que sea el entorno de (esto es, cualquiera que sea el conjunto de forma que exista un abierto tal que ) existe un de tal forma que para cada con se cumple que .
[editar]Filtros
Véase también: Filtro (matemáticas)
En el caso de filtros, por ser objetos matemáticos similares a redes topológicas, también es posible la definición de límite. En efecto, sea X un espacio topológico y x un punto de X. Se dice que un filtro base B converge a x, denotado como B → x o , si para todo entorno U de x, existe un B0 ∈ B tal que B0 ⊆ U. En este caso, x se llama límite de B y B se denomina filtro base convergente.1 2
De igual manera, se puede aplicar a funciones, extendiendo la definición de continuidad a éstas. Si X, Y son dos espacios topológicos y f: X → Y es una función, siendo B un filtro entorno en X de un punto a perteneciente a X, entonces el límite con respecto al filtro Bde f es y, denotado como
si B converge a a, luego f converge a y; dicho de otra forma, y es el límite de f en el punto a.1
Límite de Banach
Artículo principal: Límite de Banach.
En análisis funcional, un límite de Banach es un funcional lineal continuo definido sobre el espacio de Banach para toda sucesión acotada de números complejos, donde se cumplen una serie de condiciones entre las que se encuentra que si es una sucesión convergente, entonces , generalizando el concepto de límite. Por lo tanto, es una extensión del funcional continuo 3
En particular, la existencia del límite de Banach no es única.3
[editar]Límites en teoría de categorías
Artículo principal: Límite (teoría de categorías).
En teoría de categorías, una rama de la matemática, se define el concepto abstracto de límite, el cual usa propiedades esenciales de construcciones universales tales como productos y límites inversos.
