Anteriormente trabajamos con ecuaciones lineales. Las ecuaciones lineales son ecuaciones polinómicas de grado uno. Ahora estudiaremos ecuaciones polinómicas de grado dos conocidas como ecuaciones cuadráticas.
Definición: Una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma ax2 + bx + c = 0 donde a, b, y , c son números reales y a es un número diferente de cero.
Ejemplos: x2 - 9 = 0; x2 - x - 12 = 0; 2x2 - 3x - 4 = 0
La condición de que a es un número diferente de cero en la definición asegura que exista el término x2 en la ecuación. Existen varios métodos para resolver las ecuaciones cuadráticas. El método apropiado para resolver una ecuación cuadrática depende del tipo de ecuación cuadrática que se va a resolver. En este curso estudiaremos los siguientes métodos: factorización, raíz cuadrada, completando el cuadrado y la fórmula cuadrática.
Factorización:
Para utilizar este método la ecuación cuadrática debe estar igualada a cero. Luego expresar el lado de la ecuación que no es cero como un producto de factores. Finalmente se iguala a cero cada factor y se despeja para la variable.
Ejemplos para discusión en clase: Resuelve las siguientes ecuaciones por factorización:
1) x2 - 4x = 0
2) x2 - 4x = 12
3) 12x2 - 17x + 6 = 0
Nota: No podemos resolver todas las ecuaciones cuadráticas por factorización porque este método está limitado a coeficientes enteros. Por eso tenemos que conocer otros métodos.
Raíz cuadrada:
Este método requiere el uso de la propiedad que se menciona a continuación.
Propiedad de la raíz cuadrada: Para cualquier número real k, la ecuación x2 = k es equivalente a :
Ejemplos para discusión en clase: Resuelve las siguientes ecuaciones por el método de raíz cuadrada:
1) x2 - 9 = 0
2) 2x2 - 1 = 0
3) (x - 3)2 = -8
Completando el cuadrado:
Completar el cuadrado conlleva hallar el tercer término de un trinomio cuadrado perfecto cuando conocemos los primeros dos. Esto es, trinomios de la forma:
x2 + bx + ?
Regla para hallar el último término de x2 + bx + ?: El último término de un trinomio cuadrado perfecto ( con a = 1) es el cuadrado de la mitad del coeficiente del término del medio. Esto es; el trinomio cuadrado perfecto cuyos dos primeros términos son
x2 + bx es :
Al completar el cuadrado queremos una ecuación equivalente que tenga un trinomio cuadrado perfecto a un lado. Para obtener la ecuación equivalente el número que completa el cuadrado debe sumarse a ambos lados de la ecuación.
Ejemplos para discusión en clase: Resuelve las siguientes ecuaciones por el método de completar el cuadrado:
1) x2 + 6x + 7 = 0
2) x2 – 10x + 5 = 0
3) 2x2 - 3x - 4 = 0
Fórmula cuadrática:
La solución de una ecuación ax2 + bx + c con a diferente de cero está dada por la fórmula cuadrática:
La expresión:
conocida como el discriminante determina el número y el tipo de soluciones. La tabla a continuación muestra la información del número de soluciones y el tipo de solución de acuerdo con el valor del discriminante.
Valor de:
Tipo de solución
positivo
dos soluciones reales
cero
una solución real
negativo
dos soluciones imaginarias
Ejemplos para discusión en clase: Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas usando la fórmula cuadrática:
1) x2 + 8x + 6 = 0
2) 9x2 + 6x + 1 = 0
3) 5x2 - 4x + 1 = 0
Nota: Cualquier ecuación cuadrática puede resolverse utilizando la fórmula cuadrática.
Práctica: Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones:
1) x2- x - 20 = 0 (por factorización)
2) x2 - 8 = 0 (por raíz cuadrada)
3) x2- 4x + 5 = 0 (completando el cuadrado)
4) 9x2 + 6x = 1 (fórmula cuadrática)
Una ecuación cuadrática proviene de un polinomio de segundo grado.
Estas son de la forma:
Donde "a" es el coeficiente cuadrático, "b" es el coeficiente lineal y "c" es el coeficiente o término independiente
Estas ecuaciones se suelen presentar igualadas a cero y pueden ser del tipo completas (consta de los tres términos mencionados) o incompletas (falta el término lineal y/o cuadrático).
Ecuaciones Incompletas
Falta el término lineal:
Ejemplo:
haciendo pasajes de términos
pasándola potencia como raíz
x = 4 y x = -4
No olvidemos que la raíz cuadrada de un número positivo siempre es un valor positivo y a uno negativo
Falta el término independiente:
Ejemplo:
sacando factor común
2x(x-4) = 0
por ser una multiplicación que da cero,
entonces alguno de los factores da cero:
Ecuaciones Complejas
Uno de los métodos más utilizados en la resolución de este tipo de ecuaciones ax + bx + c = 0 es la aplicación de una fórmula:
NOTA: Esta fórmula no es difícil de deducir pero no es el objetivo de este curso hacerlo, sólo se acepta, se aplica y se verifican las soluciones.
Ejemplo: 2x + 6x 8 = O reemplazando por los coeficientes: a = 2; b = 6 y c = -8
2x + 6x 8 = O reemplazando por los coeficientes: a = 2; b = 6 y c = -8
calculando cada solución (sumando y restando el valor de la raíz)
Esta fórmula también puede utilizarse para resolver ecuaciones incompletas, en la que se deberá completar con uceros" los términos faltantes.
Ecuaciones Cuadraticas por Factorización
Factorización: Un producto es el resultado de multiplicar dos o más números. Los números que se multiplican se llaman factores o divisores del producto.
Una ecuación cuadrática se puede expresar como el producto de dos factores. Cada factor al igualarse a cero permite encontrar las dos raíces.
Hay distintos tipos:
Factor Común:
Ejemplo:
Resolver: 3x=18x
Solución:
3x-18x = 0
3x(x-6)=0
3x = 0 x-6 = 0
x = 0 x = 6
Comprobación:
3(0) =18(0)
0 = 0
3(6)=18(6)
3(36)= 108
108 = 108
Diferencia de Cuadrados
x-y= (x + y)(x-y)
La expresión x- y es la diferencia de dos cuadrados, x y y.
La raíz cuadrada principal (positiva) de xy son:
Un factor es la suma de las raíces y el otro es la diferencia de las mismas.
Ejemplo:
Resolver x= 36
Solución:
x-36 = 0
vx = x
V36=6
x-36 = (x + 6) (x-6)
x + 6 = 0 x-6 = 0
x = -6 x = 6
(-6)=36 6=36
36 = 36 36 = 36
