Las características que tiene el hexágono regular son algo peculiares y permiten con sólo ese dato de su apotema calcular lo que te piden, atiende:
El hexágono regular inscrito en una circunferencia tiene el lado igual al radio de la misma ya que al trazar éstos radios desde el centro hasta cada vértice del polígono se nos forman 6 triángulos equiláteros.
Por otro lado, el triángulo equilátero sabemos que tiene los 3 lados y los 3 ángulos iguales y como todos los ángulos de cualquier triángulo suman 180º, podemos deducir que en este triángulo específico sus ángulos medirán: 180 : 3 = 60º cada uno.
Por tanto, al hablar de la apotema del hexágono también nos estamos refiriendo a la altura de cualquiera de esos triángulos... ¿me vas siguiendo?
El objetivo del ejercicio es hallar el lado del hexágono -que es como hallar el lado del triángulo descrito- y como dicho lado es igual al radio de la circunferencia, sólo nos quedará aplicar la fórmula de la longitud de la misma para encontrar la solución final.
Así pues, sabemos que la altura de ese triángulo parte el ángulo por la mitad -diríamos que es lo mismo que su bisectriz- y por tanto se forman dos triángulos rectángulos con un ángulo recto (90º), otro ángulo agudo (60º) y otro agudo de la mitad de 60, o sea de 30º.
Por la función tangente, podemos hallar la mitad del lado del triángulo/hexágono ya que conocemos el ángulo de 30 y su cateto contiguo (la apotema = 2√3). Lo calculo:
Tg. 30º = Cat. opuesto (mitad del lado) / Cat. contiguo (2√3) ... despejo el opuesto
C.opuesto = Cat. contiguo x Tg. 30º = 2√3 x (1/√3) =
= 2√3 / √3 = 2 unidades mide la mitad del lado, luego el lado entero medirá 4 unidades.
Como ya hemos deducido que eso también es lo que mide el radio, aplico la fórmula de la circunferencia:
L=2·π·r = 2·3,14·4 = 25,12 unidades es la longitud pedida.
Saludos.
