Solamenta plantea tus ecuaciones si no le entiendes te doy las ecuaciones son dos ecuaciones con dos incognitas...
sea x = un numero
sea y = el segundo numero
Nombremos a los dos numeros "x" e "y". la suma es 120
x +y = 120
Pero expresemos "y" en términos de "x"
y = 120 -x
El producto del primer número por el cuadrado del segundo será una función que llamaremos f(x):
f(x) = x(120 -x)² = x(120² -2·120·x +x²) = x(14400 -240x +x²) = 14400x -240x² +x³
Para hallar el valor de "x" donde la función sea máxima, seguimos estos pasos
1º Sacar la primera derivada de la función. Para derivar recuerda:
* Linealidad de la suma (f(x) +g(x))' = f ' (x) +g ' (x)
* Linealidad de la función multiplicada por un factor constante "a": (af(x)) ' = a·f'(x). De aca se desprende que la derivada de un número es 0
* La derivada de xª es axª⁻¹, siendo "a" un factor constante
df(x)
____ = 14400 -2·240x +3x² = 14400 -480x +3x²
dx
2º Igualamos la derivada a 0 y resolvemos la ecuación resultante para hayar los valores críticos, que son los valores de "x" candidatos a ser máximos y mínimos
3x² -480x +14400 = 0
3(x² -160x +4800) = 0
x² -160x +4800 = 0/3
x² -160x +4800 = 0
Recuerda la factorización de este tipo: x² +(a+b)x +a·b = (x +a)(x +b)
(x -120)(x -40) = 0
Las soluciones de "x" son:
x -120 = 0
x = 120
ó
x -40 = 0
x = 40
3º Calculamos la segunda derivada de la función
d² f(x)
_____ = -480 +3·2x = -480 +6x = -6(80 -x)
dx²
4º Evaluamos la segunda derivada en los valores críticos. Si el resultado es negativo el valor crítico corresponde a un máximo de f(x), si el resultadoes positivo el valor crítico es un mínimo de f(x)
* Para x = 120:
d² f(x)
_____ = -6(80 -120) = -6·-40 = 240 > 0 :-> mínimo
dx²
* Para x = 40
d² f(x)
_____ = -6(80 -40) = -6·40 = -240 < 0 :-> máximo
dx²
Entonces el máximo se haya en x = 40, por lo tanto los número que buscabamos son x = 40 y 120 -x = 80
