f(x)x 2=+ Solución: El Dom(f) está dado por el conjunto de los valores de x para los que f(x) existe. Esta función no tiene sentido cuando el denominador es cero. Dicho de otro modo, la función existe para todos los valores de x para los que el denominador es distinto de cero. En notación matemática: Dom(f) x /x 2 0 Dom(f) x /x 2 = ∀ ∈ + ≠ ⇒ = ∀ ∈ ≠− ℝ ℝ , en donde el símbolo “/” significa “tal que” 2. 2f(x) x 4 = − Solución: El Dom(f) está dado por el conjunto de los valores de x para los que f(x) existe. Esta función existe para los valores de x que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero. En notación matemática: 2Dom(f) x /x 4 0 = ∀ ∈ − ≥ ℝ , en donde el símbolo “/” significa “tal que”. Tenemos que resolver la inecuación 2x 4 0 − ≥ . Resolvemos la ecuación correspondiente: 2x 4 0 x 2 − = ⇒ =± Llevamos las raíces sobre la recta de los números reales: TIMONMATE Funciones. Ejercicios resueltos 5/16 Ahora estudiamos el comportamiento de 2x 4 0 − ≥ en las tres zonas que determinan las dos raíces: Zona 1: Tomamos un x cualquiera de ℝ comprendido entre −∞ y –2, incluido éste, o lo que es lo mismo en notación matemática: elegimos un ( ] x , 2 ∈ −∞ . Así, para x=–3 tenemos que ( )2 2x 4 0 3 4 0 5 0 − ≥ ⇒ − − ≥ ⇒ ≥ , lo cual es cierto. Entonces en este intervalo tenemos una solución. Zona 2: Tomamos un ( ) x 2,2 ∈ − , por ejemplo el cero. Así, para x=0 tenemos que 2 2x 4 0 0 4 0 4 0 − ≥ ⇒ − ≥ ⇒− ≥ , lo cual no es cierto. Entonces en este intervalo no hay solución. Zona 3: Tomamos un [ ) x 2, ∈ ∞ , por ejemplo x=3. Así, 2 2x 4 0 3 4 0 5 0 − ≥ ⇒ − ≥ ⇒ ≥ , lo cual si es cierto. Ello quiere decir que el intervalo estudiado es una solución de la inecuación. Conclusión final: 2Dom(f) x /x 4 0 Dom(f) x /x 2 y x 2 = ∀ ∈ − ≥ ⇔ = ∀ ∈ ≤− ≥ ℝ ℝ , y gráficamente: 3. 2x 3f(x)x x 2+=+ − Solución: El Dom(f) está dado por el conjunto de los valores de x para los que f(x) existe. Esta función no tiene sentido cuando el denominador es cero o cuando el radicando es menor que cero. –2 2 –2 2 Dom(f) Dom(f) Funciones. Ejercicios resueltos TIMONMATE 6/16 Así: 2Dom(f) x /x x 2 0 = ∀ ∈ + − ≥ ℝ La solución de 2x x 2 0 + − ≥ viene dada por ( ] [ ) , 2 1, −∞ − ∪ ∞ Entonces, ( ] [ )2Dom(f) x /x x 2 0 Dom(f , 2 1, ) x / = ∀ ∈ + − ≥ ⇒ = ∀ −∞ − ∪ ∞ ∈ ℝ ℝ 4. 22 xf(x)x x 18−=+ + Solución: El Dom(f) está dado por el conjunto de los valores de x para los que f(x) existe. Esta función no tiene sentido en los siguientes casos: a) El radicando que aparece en el numerador es negativo. b) El denominador es cero. Es decir: 2Dom(f) x /2 x 0 x x 18 0 = ∀ ∈ − ≥ ∪ + + ≠ ℝ , tal que: ( ] 2 x 0 x 2 ,2 − ≥ ⇒ ≤ ⇒ −∞ 2x 1x x 18 0x 9 ≠− + + ≠ ⇒ ≠− Conclusión: ( ) ( ) ( ) Dom(f) x / , 9 9, 1 1, 2 = ∀ ∈ −∞ − ∪ − − ∪ − ℝ B.2. Halla la inversa de cada una de las siguientes funciones 5. f(x) 5x 2 = − Solución: Primero comprobamos que la función es inyectiva: ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2f x f x 5x 2 5x 2 x x = ⇒ − = − ⇒ = . Así que es inyectiva, por lo que tendrá inversa. TIMONMATE Funciones. Ejercicios resueltos 7/16 Escribimos la función como y 5x 2 = − y cambiamos x por y: x 5y 2 = − Ahora despejamos y: x 2x 5y 2 y5+= − ⇒ = Por último, hacemos el cambio ( )1y f x−≡ : ( )1 x 2f x5− +=
