Para calcular el área y el perímetro de un polígono regular de lado L y cantidad N de lados.
El perímetro es simplemente la suma de todos sus lados por tanto:
Perímetro Polígono = L.N
Vamos a mirar al polígono regular de N lados dividido en N triángulos todos iguales de base L. (estos triángulos se forman uniendo el centro de la circunferencia que inscribe al polígono regular la cual siempre existe y es única con cada uno de los vértices del polígono).
Basta pues con hallar el área de este triangulito para luego multiplicar su área por N.
Analizando este triángulo genérico vemos que es isóseles y que el único ángulo distinto siempre mide 360/N (haré el análisis en grados en vez de radianes para que se vea mejor ) Además el lado opuesto a dicho ángulo mide L.
Aplicando el teorema del coseno:
L² = 2A² - 2A² . cos(360/N)
Entonces:
(L²)/(2 - 2.cos(360/N)) = A² (ec. 1)
Siendo A los otros lados del triángulo.
Trazamos ahora la altura sobre el lado L y le llamamos H (aquí no diferenciamos entre medida y el nombre del lado aunque es más correcto hacerlo, es sin embargo, irrelevante para nuestros propósitos).
Por pitágoras y la simetría del problema:
H²+ (L/2)²= A²(ec. 2)
De manera que usando la ecuación 1:
H = raíz [A^2 - (L/2)^2]
Utilizando ahora la ecuación 1:
H = raíz [(L²)/(2 - 2.cos(360/N)) - (L/2)²]
De modo que el área del triángulito es:
Área triangulito = (base por altura) = H L = L .raíz [(L²)/(2 - 2.cos(360/N)) - (L/2)²]
Entonces finalmente:
Área Polígono = N.L .raíz [(L²)/(2 - 2.cos(360/N)) - (L/2)²]
